頌栄女子学院中学校 2025年度 第1回 問題1 解答と解説

1

（1）

答え　1/5

（2）

答え　0.71

（3）

正五角形の1つの外角の大きさは 360÷5＝72（度）、1つの内角の大きさは 180－72＝108（度）です。

三角形FDEは ○＝●＝72度 の二等辺三角形ですから、直線BFは二等辺三角形FDEと正五角形ABCDEを2等分します。

108÷2＝54（度）… 角CBFの大きさ（＝■＝□）

また、正五角形の辺BCと対角線ADは平行ですから、▲＝54度 です。

よって、角アの大きさは 180－54＝126（度）です。

答え　126度

※ 解答は一例です。他に、次のような求め方もあります。

（4）

2人の年令の差が常に同じであることに着目します。

差を5と3の最小公倍数である⑮にそろえます。

⑥＋8＝⑩　→　①＝8÷（10－6）＝2（才）

よって、頌子さんの現在の年令は 2×6＝12（才）です。

答え　12歳

（5）

列車の1点（先頭部や最後尾など）の動きに注目します。

1分40秒＝100秒

2つの列車の最後尾は、合わせて 300＋200＝500（m）の距離を出会うのに20秒かかっていますから、速さの和は 500÷20＝25（m/秒）です。

また、長さが300mの列車の最後尾は、長さが200ｍの列車の先頭部までの 300＋200＝500（m）の距離を追いつくのに100秒かかっていますから、速さの差は 500÷100＝5（m/秒）です。

ですから、長さが200ｍの列車の速さは、和差算を利用すると（25－5）÷2＝10（m/秒）と求められます。

答え　秒速10m

（6）

見取り図のように、切り口は円を細長くのばしたような図形です。

答え　（解説参照）

（7）

もし、20個すべてが5gのおもりだとすると、その重さの合計は 5×20＝100（g）ですから、2515gを作ることはできません。

ですから、0.5㎏のおもりと100gのおもりを組み合わせ、20個以下で2500gを作ることを、はじめに考えます。

次に、残りの2515－2500＝15（g）を 5gと1ｇのおもりで作る場合を調べます。

（0.5㎏、100g）＝（5個、0個）のとき

　5gと1gのおもりに使う個数は 20－（5＋0）＝15（個）ですから、（5g、1g）＝（0個、15個）の1通りがあります。

（0.5㎏、100g）＝（4個、5個）のとき

　5gと1gのおもりに使う個数は 20－（4＋5）＝11（個）です。

　つるかめ算を利用すると、（5g、1g）＝（1個、10個）を求めることができます。

（0.5㎏、100g）＝（3個、10個）のとき

　5gと1gのおもりに使う個数は 20－（3＋10）＝7（個）です。

つるかめ算を利用すると、（5g、1g）＝（2個、5個）を求めることができます。

（0.5㎏、100g）＝（2個、15個）のとき

　5gと1gのおもりに使う個数は 20－（2＋15）＝3（個）ですから、（5g、1g）＝（3個、0個）の1通りがあります。

以上から、おもりの組み合わせ方は、次の4通りがあるとわかります。

答え　4通り

（8）

ヒストグラムを表に整理し直します。

25÷2＝12あまり1 より、中央値は13人目の点数ですから、修正前は、中央値も最頻値も4点です。

平均点に修正前後で0.08点の差があったので、修正後は合計得点は 0.08×25＝2（点）増える、または、2点減ります。

1人の生徒の得点が2点変化しても最頻値は変化せず、中央値だけが変化するという条件を満たすのは、3点の生徒を5点に修正したとき（最頻値：4点、中央値：5点、合計得点：2点増える）だけです。

答え　3点から5点

（9）

正□角形は、□個の合同な二等辺三角形の集まりと考えることができます。

360÷8＝45（度）

ですから、正八角形は等しい角の大きさが（180－45）÷2＝67.5（度）の二等辺三角形が8個集まった図形です。

よって、下の図において、●＋▲＝▲＋○＝45（度）ですから、●＝○ です。

また、■＝□＝67.5（度）ですから、三角形OABと三角形OCDは合同です。

従って、★の部分を☆へ移動させること（等積移動）ができますから、正八角形と直角二等辺三角形が重なった部分の面積は 100÷8＝12.5（㎠）とわかります。

答え　12.5㎠

（10）

分数は（分子）÷（分母）にかき直すことができます。

180÷□の商が整数になる場合を考えますから、商を整数Ａとすると、□ も整数Aも180の約数です。

180の約数は 1、2、3、4、5、6、9、10、18、12、15、20、30、36、45、60、90、180 の18個があります。

整数Aを7で割ると1より小さくなるときを求めるので、Aにあてはまる数は 1、2、3、4、5、6 の6個です。

180÷□＝1　→　□＝180

180÷□＝2　→　□＝90

180÷□＝3　→　□＝60

180÷□＝4　→　□＝45

180÷□＝5　→　□＝36

180÷□＝6　→　□＝30

よって、□には 180、90、60、45、36、30 の6通りの整数が入ります。

答え　6通り