恵泉女学園中学校 第2回 2025年度 問題3 解答と解説

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（1-①）

三角形AHDと三角形FHEは相似で、相似比は AD：FE＝（1＋3＋1）：3＝5：3 ですから、AH：HF も 5：3 です。

答え　5：3

（1-②）

三角形AEHと三角形EFHは高さの等しい三角形なので、面積比は底辺の比と同じです。

底辺の比　AH：HF＝5：3　→　面積比　△AEH（★）：△EFH（☆）＝5：3

また、「三角形EFHと三角形AHIの面積が等しい」ので、三角形AHIの面積（☆）も 3 です。

よって、三角形AEHの面積と三角形AHIの面積の比は ★：☆＝5：3 です。

答え　5：3

（1-③）

ED上の長さの比に着目します。

（1-①）において、三角形FHEと三角形AHDの相似比が 3：5で したから、EH：HD も 3：5 です。

また、（1-②）において、高さが等しい三角形AEHと三角形AHIの面積比が 5：3 でしたから、底辺の比も EH：HI＝5：3 です。

連比に整理します。

よって、EH：HI：ID＝EH：HI：（HD－HI）＝15：9：（25－9）＝15：9：16 です。

答え　15：9：16

（1-④）

三角形AIDと三角形JIEは相似で、相似比は ID：IE＝16：（15＋9）＝2：3 ですから、AD：JE も 2：3 です。

ADとBJ上の長さの比に着目します。

連比に整理します。

三角形JGCと三角形AGDは相似で、相似比は JC：AD＝（EJ－EF－FC）：AD＝（15－6－2）：10＝7：10 ですから、CG：GD も 7：10 です。

答え　7：10

（2-①）

平行四辺形ABCDと三角形ABFは高さが等しいので、面積比は（上底＋下底）の比と同じです。

（※ 三角形は、上底＝0、下底＝底辺 と考えます。）

（上底＋下底）の比　（AD＋BC）：BF＝（5×2）：（1＋3）＝5：2　→　面積比　平行四辺形ABCD：△ABF＝5：2

三角形ABFの面積を□㎠とすると、136㎠：□㎠＝5：2　→　□＝136×2÷5＝54.4（㎠）です。

答え　54.4㎠

（2-②）

五角形HFCGIの面積を、四角形AFCGの面積から三角形AHIの面積を引いて求めることにします。

はじめに、四角形AFCGの面積を求めるために、ACを引いて2つの三角形に分けます。

平行四辺形ABCDと三角形AFCは高さが等しいので、面積比は（上底＋下底）の比と同じです。

（上底＋下底）の比　（AD＋BC）：FC＝（5×2）：1＝10：1　→　面積比　平行四辺形ABCD：△AFC＝10：1

三角形ABFの面積を□㎠とすると、136㎠：□㎠＝10：1　→　□＝136×1÷10＝13.6（㎠）です。

また、（1-④）より、CG：GD：CD＝7：10：（7＋10）＝7：10：17です。

平行四辺形ABCDと三角形ACGも高さが等しいので、面積比は（上底＋下底）の比と同じです。

（上底＋下底）の比　（AB＋CD）：CG＝（17×2）：7＝34：7　→　面積比　平行四辺形ABCD：△ACG＝34：7

三角形ACGの面積を■㎠とすると、136㎠：■㎠＝34：7　→　■＝136×7÷34＝28（㎠）です。

さらに、平行四辺形ABCDと三角形AEDは高さ（下の図の★）が等しいので、面積比は（上底＋下底）の比と同じです。

（上底＋下底）の比　（AD＋BC）：AD＝（5×2）：5＝2：1　→　面積比　平行四辺形ABCD：△AED＝2：1

三角形AEDの面積を▲㎠とすると、136㎠：▲㎠＝2：1　→　▲＝136×1÷2＝68（㎠）です。

三角形AEDと三角形AHIも高さ（下の図の☆）が等しいので、面積比は底辺の比と同じです。

底辺の比　ED：HI＝（EH＋HI＋ID）：HI＝（15＋9＋16）：9＝40：9　→　面積比　△AED：△AHI＝40：9

三角形AHIの面積を◎㎠とすると、68㎠：◎㎠＝40：9　→　◎＝68×9÷40＝15.3（㎠）です。

ですから、（五角形HFCGIの面積）＝（四角形AFCGの面積）－（三角形AHIの面積）＝（13.6＋28）－15.3＝26.3（㎠）です。

答え　26.3㎠